设数列{a*n}的首项a*1=1,前n项和S*n满足关系式3tS*n-(2t+3)S* n-1=3t (t＞0，n≥2，n∈N*）

1.求证{a*n}是等比数列
3tS*n-(2t+3)S*(n-1)=3t,3tS*(n+1)-(2t+3)S*n=3t (t＞0，n≥2，n∈N*)
两式相减得3ta*(n+1)-(2t+3)a*n=0
a*(n+1)/a*n=(2t+3)/(3t) (t＞0，n≥2，n∈N*)
又3tS*2-(2t+3)S*1=3t=3t(a*1+a*2)-(2t+3)a*1
得a*2=(2t+3)/(3t)=a*2/a*1
所以a*(n+1)/a*n=(2t+3)/(3t)为一常数 (t＞0，n≥1，n∈N*)
所以{a*n}是等比数列

2.求b*n
f(t)=(2t+3)/(3t)=1/t+2/3
b*1=1,b*n=f{1/[b*(n-1)]}=b*(n-1)+2/3 (n≥2，n∈N*)
b*n-b*(n-1)=2/3为一常数 (n≥2，n∈N*)
所以{b*n}是等差数列，公差为2/3。又b*1=1
所以b*n=1+2(n-1)/3=(2n+1)/3

3.求和
b*1×b*2-b*2×b*3+b*3×b*4-……+b*(2n-1)×b*2n-b*2n×b*(2n+1)
=b*2×(b*1-b*3)+b*4×(b*3-b*5)+……b*2n×[b*(2n-1)-b*(2n+1)]
=c*1+c*2+……+c*n
上式中c*n=b*2n×[b*(2n-1)-b*(2n+1)]=(4n+1)/3×[(4n-1)/3-(4n+3)/3]
=(-4/9)(4n+1)(n≥1，n∈N*) 显然{c*n}是等差数列，公差为-16/9
所以b*1×b*2-b*2×b*3+b*3×b*4-……+b*(2n-1)×b*2n-b*2n×b*(2n+1)
=n(-20/9-16n/9-4/9)/2=-n(8n+12)/9